计算方法（数值分析）课程涉及部分线性代数内容，故对本科一年级所学的线性代数进行了复习。
摘自：
矩阵的逆
- 定义： 如果矩阵\(\boldsymbol{A}\)和\(\boldsymbol{B}\)满足以下关系式： \[ \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E} \] 称\(\boldsymbol{A}\)和\(\boldsymbol{B}\)互为逆矩阵，记\(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}\)。
矩阵的逆的求法： \[ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|}\boldsymbol{A}^* \] 其中
\[ \boldsymbol{A}^*=(A_{ji})_{n\times n} \]
\(A_{ij}\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)的代数余子式。
正定矩阵
- 定义： 设\(\boldsymbol{M}\)是\(n\)阶方阵，如果对任意非零向量\(\boldsymbol{x}\)都有\(\boldsymbol{x}^{\text{T}}\boldsymbol{Mx}>0\)，称M为正定矩阵。
- 性质：
- 正定矩阵的行列式恒为正；
- 实对称矩阵\(\boldsymbol{A}\)正定当且仅当\(\boldsymbol{A}\)与单位矩阵合同；
- 若\(\boldsymbol{A}\)是正定矩阵，则\(\boldsymbol{A}\)的逆矩阵也是正定矩阵；
- 两个正定矩阵的和是正定矩阵；
- 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
- 等价命题： 对于\(n\)实对称矩阵\(\boldsymbol{A}\)，下列命题是等价的：
- \(\boldsymbol{A}\)是正定矩阵；
- \(\boldsymbol{A}\)的一切顺序主子式均为正；
- \(\boldsymbol{A}\)的一切主子式均为正；
- \(\boldsymbol{A}\)的特征值为正；
- 存在实可逆矩阵\(\boldsymbol{C}\)，使得\(\boldsymbol{A=C}^{\rm{T}}\boldsymbol{C}\)；
- 存在秩为\(n\)的\(n\times n\)实矩阵\(\boldsymbol{B}\)，使\(\boldsymbol{A=B}^{\rm{T}}\boldsymbol{B}\)；
- 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵\(\boldsymbol{R}\)，使\(\boldsymbol{A=R}^{\rm{T}}\boldsymbol{R}\)；
矩阵的特征值
定义： 设\(\boldsymbol{A}\)是\(n\)阶方阵，如果存在数\(\lambda\)和非零\(n\)维列向量\(\boldsymbol{x}\)，使得\(\boldsymbol{Ax=}m\boldsymbol{x}\)成立，则称\(m\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)的一个特征值，\(\boldsymbol{x}\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)的一个特征向量。
求法： 方程 \[ \left|\lambda\boldsymbol{E-A}\right|=\boldsymbol{0} \] 的\(n\)个复根\(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\)为矩阵\(\boldsymbol{A}\)的\(n\)个特征值。将特征值代入方程 \[ (\lambda\boldsymbol{E-A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \] 得到的基解系以及基础解系的线性组合都是\(\boldsymbol{A}\)的特征向量。
性质：
\(n\)阶方阵\(\boldsymbol{A}=(a_{ij})\)的所有特征根为\(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\)（包括重根），则 \[ \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=\sum_{i=1}^{n}{a_{ii}}\\ \lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n=\left|\boldsymbol{A}\right| \]
若\(\lambda\)是可逆矩阵\(\boldsymbol{A}\)的一个特征值，\(\boldsymbol{x}\)为对应的特征向量，则\(1/\lambda\)为\(\boldsymbol{A}^{-1}\)的一个特征值，\(\boldsymbol{x}\)仍为对应的特征向量。
若\(\lambda\)是方阵\(\boldsymbol{A}\)的一个特征值，\(\boldsymbol{x}\)为对应的特征向量，则\(\lambda^m\)为\(\boldsymbol{A}^{m}\)的一个特征值，\(\boldsymbol{x}\)仍为对应的特征向量。
设\(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m\)是方阵\(\boldsymbol{A}\)的互不相同的特征值。\(\boldsymbol{x}_j\)是属于\(\lambda_i\)的特征向量\((i=1,2,\dots,m)\)，则\(x_1,x_2,\dots,x_m\)线性无关，即不同特征值的特征向量线性无关。