变分模态分解 (VMD)
DRAGOMIRETSKIY K, ZOSSO D. Variational Mode Decomposition [J]. IEEE Trans Signal Process, 2014, 62(3): 531-44.
经验模态分解存在的问题：
高度依赖于极值点查找方法、极值点到载波包络线的插值方法以及施加的停止标准
缺乏数学理论解释，缺少自由度，鲁棒性不足。
变分模态分解（Variational mode decomposition, VMD）是一种针对 EMD 方法的缺陷而进行改进的方法。其主要目标是消除 EMD 方法的端点效应和频率混叠问题。
基本思想和过程
假设目标要将信号 \(f(t)\) 经分解为 \(K\) 个 IMF，其中第 \(k\) 个 IMF 记作 \(u_k (t)\)，通过希尔伯特变换可以得到 \(u_k (t)\) 的中心频率 \(\omega_k\)。
则可经过一系列的数学变换得到 VMD 的分析结果。
通过HHT求出原始IMF分量 \(u_k(t)\) 的解析形式： \[ (\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi}t})\ast u_k(t) \]
对上述结果减去中心频率\(\omega_k\)，进行标准化： \[ [(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi}t}\ast u_k(t)]\mathrm{e}^{−\mathrm{j}\omega_kt} \]
对总体的频率带宽进行优化，基于下式：
\[ \min_{\{u_k\},\{\omega_k\}}\left\{∑_k\left\Vert\partial_t\left[(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\mathrm{\pi}t}\ast)u_k (t)\right]\mathrm{e}^{−j\omega_kt}\right\Vert_2\right\} \\ s.t. ∑_{k=1}^Ku_k(t)=f(t) \]
经过一定的数学推导，可以得到优化问题的具体迭代过程，如图所示。
VMD的优劣
优势：
分解效果明显优于 EMD 和 EEMD
自适应分解方法，无需选择基波
有完整的数学理论解释
每个子波都处在一个较窄的频带范围之内，子波的物理意义更加明确
允许人为设定分解模式数量 \(K\) 和各模式的中心频率 \(\omega_k\)，可通过先验知识提高分解效果
劣势：
需要人为选择分解的模式数 \(K\)
仍然存在边界效应
分析突变型号时效果依然不好
没有余项，不利于分析信号的整体变化趋势
宽带模式分解 (BMD)
PENG Y, LI Z, HE K, et al. Quality monitoring of aluminum alloy DPMIG welding based on broadband mode decomposition and MMC-FCH[J]. Measurement, 2020,158: 107683.
目标：解决信号分解过程中的吉布斯效应等问题，如图所示。
宽带模式分解的基本思路
宽带模式分解 (Broadband Mode Decomposition, BMD)为了将信号中的宽带信号成分和 AM-FM 窄带信号成分从噪声中分解出来，需要建立典型信号字典。
字典包含两个典型宽带信号字典（方波 (square) 和锯齿波 (sawtooth)）和一个窄带信号字典：
\[ \begin{aligned} &Dic_1=\left\{A_1\text{square}(\omega_1 t+\theta_1, D_1 )\right\} \\&Dic_2=\left\{A_2\text{sawtooth}(\omega_2 t+\theta_2,D_2 )\right\} \\&Dic_3=\left\{A_3(t)\cos(\omega_3 t+\theta_3 (t))\right\} \end{aligned} \]
其中 \(Dic_3\) 中 \(|A_3 (t)|\ll\omega _3\)，\(\theta_3 (t)\) 随时间缓慢变化。 通过在字典中搜索得到分解结果，（优化问题，优化参数为\(A\)、\(\omega\)、\(\theta\)）
算法迭代流程
去除直流成分
执行 \(P1\) 优化过程：
优化目标： \[ \begin{aligned} &P1:\min(T_1(A_1,\omega _1,\theta_1,D_1 ),T_2 (A_2,\omega _2,\theta_2,D_2 ),T_3 \left[A_3 (n),\omega _3 (n),\theta_3 (n)\right] ) \\&𝑆.T.\quad x(n)=∑_{i=0}^NIMF_i (n)+rec(n), \quad IMF_i^j\in Dic_j \\&T_j=\left\Vert D^{(2)}\left[IMF_i^j (n)\right]\right\Vert_2^2+𝜆\left\Vert D^{(2)} \left[x(n)−IMF_i^j (n)\right]\right\Vert_2^2 \end{aligned} \]
如图所示
从上述过程可以看到，BMD 方法的主要思路就是在已知信号中含有方波或锯齿波的脉冲成分下，设立对应的字典的分类方法。